無母數分析

Wilcoxon test

為無母數檢定，無母數檢定用於探討非常態母群或是中位數檢定的差異，用於成對樣本(相依樣本)的比較上常使用魏克生符號檢定與符號檢定，以下詳細說明。

無母數檢定：母群體未知且非常態分布的類別資料與等級資料，或是用於樣本數較小時。

魏克生符號檢定或符號檢定(Sign test)

用於一組樣本(檢定母體中位數是否等於某特定值)或成對樣本(兩組母體的中位數是否相等)在同一個變項的分佈狀況的檢驗。

例子：病人在醫院滿意度調查，從非常不滿意1到非常滿意7，隨機詢問五個病人，中位數是否為4；同一名病患的飯前血糖濃度與飯後血糖濃度的差異。

使用時機相當於One Sample T test與Paired t-test，只是差在無母數

資料處理設資料為X1 , X2 , …, Xi , …, Xn，令 -1 當Xi-M0<0 Zi= 0 當Xi-M0=0 1 當Xi-M0>0以正負號的個數當統計量做為檢定的基礎，然後就把他當二項配來做。

因為當作二項分配來看，而虛無假設是中位數為某個數，因此在虛無假設是對的情況下，比中位數大的和小的機率應該一樣，所一這邊把和中位數一樣的去掉後，二邊的機率分別為12，我們這邊把比較大的個數的隨機變數當做C，而其機率為p=12，此時EC=np=n2、VarC=npq=n4，這邊的n是已經去掉和中位數一樣的。

假設檢定(雙尾)： H0：p=12 vs. H1：p≠12(單尾的話就把=改≥或≤，然後公式的型一誤差調一下就行了)

統計公式(用Z值，因如果樣本數過多時，二項分配接近常態)：

Z=C-n/2n/4，然後可以以此來查p值

如果C>n2+Z1-α/2n/4或C<n2-Z1-α/2n/4可拒絕H0

如果n不到20，而要p值的話，就算其在期望值之外的機率例：當n=10，C=8>10/2=5時，p=2×810Ck10(12)10

其實就是將原本的數值經過轉換，換成正和負，然後就可以用二項分配來看，所以如果是要比兩組資料時，就和二項分配兩組資料的看法差不多，以上是討論一組資料的。

Wilcoxon rank sum test (Wilcoxon 等級和檢定= Mann-Whitney U test)

例：5位精神障礙者，其中2人給安慰劑、3人給藥，之後以嚴重程度給與等級1~5 (1為最嚴重)

H0：藥沒效，則以下C35種方法機率一樣

可得Ws的機率密度函數(Ws為給藥之等級和)

公式：全部N個(符級1~N)，處理(給藥)n個，剩N-n=m個，記為#(w;n,m)為處理之等級和為w之分割總組數則P(Ws = w) = #(w;n,m)Nn

若m ≤ 10, n ≤ 10時，查表

若超過此範圍可用常態近似(數量不夠多時，也可以用-1/2來近似)

P[T-EWsVarWs≤α] ≈ Φα

EWs= 12n(N+1)

VarWx= 112mn(N+1)

類似於independent t test，為二獨立樣本的檢定

公式證明(補充)：

EWs= XiNn=XiN-1n-1Nn

=nNXi=nNN(N+1)2=12n(N+1)

VarWs= (Xi)2Nn-[12n(N+1)]2

=Xi2N-1n-1Nn+2XiYjN-2n-2Nn-n2(N+1)24

=nNXi2+n(n-1)N(N-1)[(Xi)2-Xi2]-n2(N+1)24

=n(N-n)(N+1)(2N+1)6(N-1)-nN+12N-n4N-1=n(N-n)(N+1)(N-1)12(N-1)

=112nm(N+1)

Wilcoxon sign ranked test (Wilcoxon符號秩檢定)

其和Sign test主要差異在於Wilcoxon sign rank test不只考慮正負方向，還考慮了與基準點的距離，因此相比之下是更好的方法。

其先把資料和中位數的距離(絕對值)排序後(如果相同則取平均)、把負的前面直接加負號，然後求得T=正排序和 or |負排序和|。

而所得T值的期望值及變異數(因為拆成正負然後取一，所以要除2)：

ET=121+2+…+n=n(n+1)4

VarT=1212+22+…+n2=nn+1(2n+1)24

類似於one sample t test或paired t test，可用在單一樣本或相依樣本

除查表外，當數字較大時，可用常態近似

當樣本數n≥20 Z=|T-nn+14|nn+1(2n+1)24

當樣本數n<20(不像常態分配，所以要修正) Z=T-nn+14-12nn+1(2n+1)24

然後就可以由Z值來求p值，看可不可以拒絕虛無假設

例(相依樣本)：比較新舊肥料，將3個草苺園分2部分(一個用新，另一個用舊)，得到下面的表

H0：假設新和舊不影響(即在相差相同下，正和負的機率一樣)

把每一個果園內的差也考慮進去，也就是說第二果園的(新-舊)的等級就為+3或-3，二者機率相同為1/2，全部會有±1, ±2, ±3，總共8種可能

我們這邊取正的，負的忽略之得到下表

則Vs的機率密度函數

公式證明(補充)

EVs= Xi2N=2N-1Xi2N =12Xi=14N(N+1)

VarVs= (Xi)22N-[14N(N+1)]2

=2N-1Xi22N+2N-2×2XiYj2N-N2(N+1)216

=12Xi2+14[(Xi)2-Xi2]-N2(N+1)216

=14Xi2+14(Xi)2-N2N+1216=124N(N+1)(2N+1)

原文書裡面的Wilcoxon sign ranked test不是只加正號或負號，直接把正的和負的數直接相加，此時EW=0, VarW= 16N(N+1)(2N+1)

中位數檢定

前面的統計方法，二母體之資料需成對，若無成對時就需要用中位數檢定來做。

虛無假設H0：假設兩個分布是相同的，則兩組的數據混合再一起排序後，中位數兩邊該組的量應該是平均的、成比例的。

有二個母體，各有n1, n2個數據，混合排列後，二組間在中位數旁邊數據個數的有m1, m2個，在虛無假設為具的狀況下，其機率為n1m1n2m2n1+n2m1+m2

由上面的機率公式，我們就可以得到在不同的m1, m2下的分布函數，就可以得到機率密度函數，也就可以求p值。另外m1和m2是相關的，因為它們的和是在中位數旁的個數，所以當n1+n2為偶數時，m1+m2 = 1/2(n1+n2)；n1+n2為奇數時，m1+m2 = 1/2(n1+n2-1)。

當n1, n2大時可利用常態分布求近似值，公式：

τ=m1n1-m2n2pq[1n1+1n2]≈N(0, 1)，其中p=m1+m2n1+n2 , q=1-p

公式說明：

關於上面用常態近似的公式，我們可以先看成是m1n1-m2n2的分布，其中n1和n2是已知的，我m1和m2是會因試驗而變的且是相關的，因此就先看的m1n1-m2n2分布狀況

而經過推導後(過程略), Em1n1-m2n2=0,Varm1n1-m2n2=(1n1-1n2)( m1+m2n1+n2×m1+m2-1n1+n2-1) ≈ pq[1n1+1n2]

因此就有了上面常態近似的公式

Kruskal-Wallis test

檢定多組不是常態分布的獨立母群體(無母數檢定)，想要知道處理(分組)是不是有用，也就是組間是不是存在差異，有點類似變異數分析，只是他是無母數分析，另外變異數分析是轉換成F分布，Kruskal-Wallis是轉換成卡方分布。

檢定方法：

先將各組樣本混合並排序，依數值由小排到大並標記排序分數

再將排序分數放回原各組內，分開加總各組之排序分數得R1, R2...Rs。

藉由R1, R2...Rs與各組樣本數n1, n2...ns換算成檢定統計量 H；H 機率分布為自由度 k-1 之 卡方分布 並用以檢定是否各組統計量完全相等。

K-W 檢定各組樣本數至少要 5 以上。

K-W 檢定與有母數分析法中 變異數分析 的使用情況相似。

虛無假設H0：處理間沒有差異

公式：

假設第i群處理：Ri‧= Ri1+…+Rinini，Ri=Ri1+…+Rini

所有數的和為1+2+…+N = 12N(N+1)，所以所有數的平均R‧‧=N+12

Kruskal-Willis統計量： K= 12N(N+1)i=1sni(Ri‧-N+12)2=12N(N+1)i=1sRi2ni-3(N+1)K會呈自由度為S-1之卡方分布

重要表格：