Z 檢定與 t 檢定

Z值及Z分配檢定

Z分配檢定，其實就是也是取樣本，然後用樣本平均數做成的分配，其樣本平均數的分配也為常態分配

Z檢定其實和t檢定很像(之後再做說明)，只是差在Z檢定是在已知母體標準差的情況下，另外如果t檢定取樣的n夠多時，也會接近Z分配，此時也可以使用Z分配

Z值

單一個數Z值：Z=X-μσ

抽樣的Z值(取n個，然後已知母體標準差為σ)：Z=X-μ(σ/n)

假設檢定

One sample：

Two tailH0：μ等於某個數H1：μ不等於某個數

One tail了話就把等於改成≥或≤

Two samples：

Two tailH0：μ1=μ2

One tail了話就把等於改成≥或≤

信賴區間(Confidence Interval, CI)

由樣本資料定義一段數值區間，宣稱有多少信心以估計母體的參數(就是抽樣的樣本經過處理後得到的值)包含於此區間內。

該數值區間上、下限稱為信賴界限(confidence limit)。

用以估計的信心程度稱為信賴(心)水準(confidence level)。

信賴區間公式(雙尾)：CI的上、下限為：X±Z1-α2×SEX=X±Z1-α2×σnex. 95% CI of mean μ 的interval為X-1.96×σn, X+1.96×σn

若要求t分佈的信賴區間就把Z改成t就行了；若要求單尾的話，其界限則只有一個，另外還由注意一下型一誤差的機率α和方向就行了。

POWER及取樣個數n的討論 (這邊討論的是One sample, One tail的Z分佈)

Power是在對立假設是對的的情況下所討論的結果，所以當我們要討論到Power(1-β)時，就需要討論虛無假設是對的的分佈圖及對立假設是對的的分佈圖，兩張圖一起比較

對於取樣數n的推估：

假設檢定： H0：μ≤μ0 vs. H1：μ>μ0

這邊我們先看在虛無假設是對的情況下的圖，H0：μ=μ0Z1-α=X-μ0(σn)

然後再看對立假設是對的情況下的圖H1：μ=μ1(>μ0)Zβ=X-μ1(σn)

將Z1-α和Zβ相減：Z1-α-Zβ=X-μ0σn-X-μ1σn就可以把抽樣部分的X去掉，然後就可以得到：(Zβ=-Z1-β) n=Z1-α-Zβσμ1-μ02=Z1-α+Z1-βσμ1-μ02

所以我們可以從以上公式得到Sample size(n)的以下關係：(狀況越好或越不嚴格，則需要的n愈少)

統計檢定力(power)的關係

也是先上面的公式得到Zβ=Z1-α-μ1-μ0σn

再由1-ΦZβ=Φ-Zβ得到統計檢定力： 1-β=1-ΦZβ=Φ-Zβ=Φ|μ1-μ0|σn-Z1-α =Φn|μ1-μ0|σ-Z1-α=Φn|μ1-μ0|σ+Zα

✽ΦZβ表示在圖中Zβ之前的面積，即為β由於Z分布對稱性的關係，可由圖觀查得知有1-ΦX=Φ-X的關係

而若是Two-sided tests的power的話，公式為：(其實也只是改一下α而已) 1-β=Φn|μ1-μ0|σ-Z1-α/2=Φn|μ1-μ0|σ+Zα/2

由以上公式得到統計檢定力(Power)的以下關係：(Power愈大表示愈好)

t檢定

依資料的樣式分為單一樣本t檢定、相依樣本t檢定、獨立樣本t檢定

t分配與Z分配：

Z分數的公式為Zi=Xi-μσ取樣後：取樣平均數的平均數μX=μ、取樣平均數的標準差σX=σn(已知母群體標準差)而其Z分數為Z=(X-μσx)=X-μσn而Z分布的圖為常態分布(取樣平均會成為常態分配中央極限定理)，可以由Z分數來求p值

t檢定

和Z檢定不同的是他不知道母群體的標準差，這也是比較常遇到的狀況，所以以樣本標準差sd=nn-1σ=(xi-X)2n來代替，也就是由樣本來推測的母群體標準差，取樣後的t分數t=X-μsdn，而因為sd會隨著取樣的不同而不同，所以把t分數畫成分佈圖時，會和Z分數所畫的常態分配有稍微不同，所以多了一個t分佈，由t分數來求p值就要由另外一個t分配的表來求得，也就是說多了一個自由度(和取樣的個數有關)的變數進去。然而當樣本數大於等於30時，t分配的分佈圖就已經很接進Z分配(標準化常態分配)的分佈圖，這時候也就可以改採Z檢定(其實就是改查Z分配的表)。

t分配會和常態分配不一樣是因為用的標準差是自己樣本的標準差，而如果知道母體的標準差的話，就會直接是標準常態分配，這時候就是Z分配。

單一樣本t檢定

用於比較樣本在某個量的變數之平均數與一個常數是否有差異

單一樣本：指的是研究者從關心的母群體中抽樣而得的一個具代表性的樣本(ex.學校中的某些學生、生產線的某些產品、罹患某種疾病的部分患者…)

抽取樣本之後，研究者會針對這些樣本的某種屬性或特性加以測量，而測量所得的值須為量的變數(quantitative variable)，(ex.在某測驗的得分、使用壽命或存活時間…)

檢定例子：

某所學校全體學生在閱讀理解測驗的平均得分與全國平均450分是否有差異?

某工廠產品，平均使用壽命與競爭對手的5000小時是否有差異

某類產品的防腐劑含量是否超30ppm?

統計公式：最基本的求Z(已知母群體變異數或樣本數大於30)、t(母群體變異數未知)、p值，然後再由以上所求來看是否可以拒決虛無假設 Z=X-μσn或t=X-μsdn(p值由查表或由電腦算出)

相依樣本t檢定(paired T test)

用於比較兩個相依樣本，在某個量的變數的平均數是否有差異

其實就是有兩兩配對的樣本(可能同一個人)，他們所測的值相減，然後再由這些值代入t分配，看可不可以拒決虛無假設配對樣本的合併

資料的形式：自變數：兩個有關聯的組別，為質的變數依變數：量的變數(quantitative variable)

也可以用因子相依樣本變異數分析，此時F=t2，分析結果是一致的

相依樣本的定義

一群樣本，接受兩次相同或類似的觀測ex.運動員在訓練前後的成績、受訪者對兩個不同議題的關心程度…

兩群有自然關系的樣本ex.同卵雙胞胎的智力、夫妻每個月各自的收入

實驗配對樣本ex.經由相同智力的配對及隨機分派後，接受不同教學法的兩組學生，在數 學推理能力測驗的得分。在醫學研究上，將類似身體狀況的受試者加以配 對，再以隨機分派的方式服用兩個藥物(通常是新、舊藥)，最後再測其效果 (如血糖值)…

檢定例子：

制度變革前後，員工對公司的忠誠度

選民對兩位候選人的滿意度

長子與非長子的冒險性格

經由配對及隨機分派，各自服用兩種不同的藥物(或是一組服用安慰劑)一星期後測量的收縮壓

統計公式：反正就是將兩個資料(Xi、Yi)相減di=Xi-Yi，求出平均及標準差，再考慮代入Z或是t分配，進而求出Z或t值及p值，最後看是否拒決虛無假設

獨立樣本t檢定(Two sample T test)

用於比較兩群沒有關聯之樣本，在某個變數的平均數是否有差異

和相依樣本不同的是，資料合併的方式是用線性組合的方式合併，也就是把所有的配對狀況都算進去

要特別注意的是資料合併後，會看兩組資料的變異數是否相近，來看要用變異數相同或不同的求t值公式。而比較兩組變異數時就會出現F分配，其目的只是要說明兩組變異數是否相同，要代哪一個公式

資料形式：自變數：兩個獨立而沒有關聯的組別，為質的變數依變數：量的變數

也可以用單因子獨立樣本變異數分析，此時F=t2，分析結果是一致的(講F分配時會說明)

兩個獨立的組別可以是：

是否接受某種處理(實驗組、對照組)

是否具有某種特質或經驗(是否有國外留學經驗)

變數中的兩個類別(男/女、高中/高職學生)

某種傾向的高低(外向或內向)

檢定例子：

兩家公司員工對所屬公司的向心力

使用不同教學法之後，兩班學生的問題解決能力

不同運動程度者(分為多與少)每年感冒的次數

隨機分派後的高血壓患者，各自服用兩種不同的藥物(或是一組服用藥物，一組服用安慰劑)一星期後測量的血壓值

統計公式(分為兩組變異數相同及不同)：

兩組變異數不同： t=X1-X2SD12n1+SD22n2(SD12n1+SD22n2是由線性組合中求兩組數據組合後的變異數而得來的)

兩組變異數相同 t=X1-X2sp2(1n1+1n2), sp2=s12n1-1+s22n2-1n1+n2-2

變異數是否相同的檢定(F分配)

假設檢定 H0:σ12=σ22, H1:σ12≠σ22 ⇒H0:σ12σ22=1, H1:σ12σ22≠1

在常態分配下，檢定兩組樣本變異數的比率：F=S12S22

然後在查表或用電腦算來求p值，最後決定是否可以拒決虛無假設

單一母體變異數的推論(卡方檢定)

是一個對取樣的變異數進行的檢定。

例子：生產一種產品，一般都希望其變異數是很小的，也就是生產的產品一致性要很高，如果生產產品有很大的差異的話，可能就會有欺騙消費者的可能性。因此要如何檢定其變異數很小的話就需要用到卡方檢定了。

假設檢定：

Two tail：H0:σ=σ0 vs. H1:σ≠σ0

One tail：H0:σ≥σ0 vs. H1:σ<σ0 or H0:σ≤σ0 vs. H1:σ>σ0

統計公式：(X1,X2,…,Xn是一個常態分配N(μ,σ)中的隨機變數，其實就是取樣)

(Xi-μ)2σ2~χ2(n)

(Xi-X)2σ2~χ2(n-1)

(n-1)sd2σ2~χ2(n-1)

Two sided test的拒絕域令X2=(n-1)sd2σ2~χ2(n-1)X2>χ1-α22(n-1), X2<χα22(n-1)

其實如果是從已知母體變異數做取樣的話，我們做這項檢定可以說是看抽樣的代表性，因為抽樣可能都是抽到很極端的樣本(拒絕H0)，這時候代表性就很低。

而一般在應用的話可能就是第二點的例子，我們希望變異數控制在一個範圍內，這時候就比較像是看單尾的卡方檢定。