獨立樣本 t 檢定 | Z 檢定與 t 檢定

獨立樣本 t 檢定（independent-samples t test；two-sample t test）用來比較兩群互不相依的樣本，在某個定量變數上的母體平均數是否有差異。同一個觀察單位只能屬於其中一組，兩組資料之間沒有一一配對關係。

資料形式

與相依樣本不同，兩組資料不能逐筆相減。平均數差 X̄₁−X̄₂ 是兩個獨立隨機變數的線性組合，因此其變異數由兩組平均數各自的變異數相加而成。

平均數差

D=\bar X_1-\bar X_2

獨立時，平均數差的變異數

\operatorname{Var}(D)=\operatorname{Var}(\bar X_1)+\operatorname{Var}(\bar X_2)=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}

雙尾：兩組平均數是否不同

H_0:\mu_1-\mu_2=0,\qquad H_1:\mu_1-\mu_2\ne0

右尾：第 1 組是否較高

H_0:\mu_1-\mu_2\leq0,\qquad H_1:\mu_1-\mu_2>0

左尾：第 1 組是否較低

H_0:\mu_1-\mu_2\geq0,\qquad H_1:\mu_1-\mu_2<0

不假設兩組母體變異數相同時，兩組樣本變異數各自除以樣本數，再相加形成平均數差的估計變異數。這就是 Welch t 檢定。

平均數差的估計變異數

\widehat{\operatorname{Var}}(\bar X_1-\bar X_2)=\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}

Welch t 統計量

t=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-\Delta_0}{\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}}

Welch–Satterthwaite 自由度

\nu\approx\frac{\left(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2\right)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1}+\dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}

若模型假設兩組母體具有共同變異數 σ²，可以依兩組各自的自由度加權，合併成共同變異數估計值 sₚ²，再計算平均數差的標準誤。

合併變異數

s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}

平均數差的合併標準誤

\operatorname{SE}_p(\bar X_1-\bar X_2)=\sqrt{s_p^2\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)}

Pooled t 統計量

t=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)-\Delta_0}{\sqrt{s_p^2(1/n_1+1/n_2)}},\qquad \nu=n_1+n_2-2

只有兩個獨立組別，且 t 檢定與單因子 ANOVA 採用相同的等變異模型時，兩者會得到一致的顯著性結論，統計量之間滿足：

F=t^2