常態分配與 Z 分配 | 隨機變數的機率分配

常態分配（normal distribution）是一種連續型機率分配，因其密度曲線呈左右對稱的鐘形，也常稱為高斯分配（Gaussian distribution）。它是統計學中最重要的分配之一，許多測量值、抽樣統計量與統計方法都會直接或間接使用它。

常態分配的形狀#

常態分配由平均數 μ 與變異數 σ² 決定。平均數控制曲線的中心位置；標準差 σ 控制資料的分散程度。σ 愈大，曲線愈寬、愈平；σ 愈小，曲線愈窄、愈高。

常態分配的記法

X\sim N(\mu,\sigma^2)

機率密度函數

f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp\!\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]

不同平均數與標準差的常態分配不方便共用同一張機率表。將 X 減去平均數，再除以標準差，就能把它轉換成標準常態變數 Z。這個過程稱為標準化（standardization）。

標準化

Z=\frac{X-\mu}{\sigma}

標準常態分配

Z\sim N(0,1)

Z 分數表示某個觀察值距離平均數多少個標準差。例如 z=1.5，表示該值位於平均數上方 1.5 個標準差；z=−2，表示位於平均數下方 2 個標準差。標準化只改變測量尺度，不會改變觀察值之間的相對位置或分配形狀。

常態分配是連續型分配，因此單一點的機率為 0。實際計算的是某個區間在密度曲線下的面積。例如 P(a≤X≤b) 表示 X 落在 a 到 b 之間的機率。

單一點的機率

P(X=x)=0

區間機率

P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx

總面積

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1

標準常態分配的累積分布函數通常記為 Φ(z)，表示標準常態變數 Z 落在 z 左側的機率。傳統 Z 表列出的通常就是這種累積面積；使用前仍要確認手上的表格究竟列左尾、右尾，還是平均數到 z 之間的面積。

左側累積機率

\Phi(z)=P(Z\le z)

左右對稱關係

\Phi(z)=1-\Phi(-z)

右尾機率

P(Z>z)=1-\Phi(z)

有些生物測量值在特定族群與條件下可能近似常態分配，但不能因為資料是連續型就直接假設常態。是否近似常態，仍應配合研究背景、圖形與診斷方法判斷。

χ²、t 與 F 並不是彼此無關、需要分別死背的三種曲線。它們都可以從獨立的標準常態變數出發，經過平方、相加、除法或取比值建立。這條關係也是後續理解變異數估計、t 檢定、卡方檢定與 ANOVA 的共同基礎。

平方後相加：形成 χ² 分配

U=\sum_{i=1}^{\nu}Z_i^2\sim\chi^2_{\nu}

標準常態除以估計的標準誤：形成 t 分配

T=\frac{Z}{\sqrt{U/\nu}}\sim t_{\nu}

兩個標準化變異量相除：形成 F 分配

F=\frac{U_1/\nu_1}{U_2/\nu_2}\sim F_{\nu_1,\nu_2}