隨機變數與機率密度函數 | 隨機變數的機率分配

機率模型用來描述隨機現象可能出現哪些結果，以及各種結果有多大的機會發生。為了用數學處理這些結果，我們會利用隨機變數把試驗結果轉換成數值。

什麼是隨機變數？#

隨機變數（random variable）是把隨機試驗的每一個可能結果對應成數值的函數。由於試驗結果在發生前尚未確定，因此隨機變數最後會取得哪一個數值，也具有不確定性。

現實中的隨機結果可能是事件、狀態或文字描述，不一定能直接進行計算。隨機變數會先選定我們關心的特徵，再用符號表示，並建立一套把每個可能結果對應成數值的規則。完成這個轉換後，才能為這些數值建立機率分配，進一步計算平均數、變異數及其他統計量。

假設連續擲兩次硬幣，可能結果為正正、正反、反正與反反。若定義 X 為正面出現的次數，這四種結果就會分別對應到 2、1、1 與 0。

X\in\{0,1,2\}

樣本平均數以及 t、χ²、F 等統計量，都是由樣本資料計算而來。在抽樣之前，樣本尚未確定，這些統計量也會隨抽到的樣本而改變，因此可以視為隨機變數。

依照可能值能否逐一列出，隨機變數可以分成離散型與連續型。這個差異也決定我們要用哪一種函數描述機率。

離散型隨機變數使用機率質量函數（probability mass function, PMF）。它直接表示 X 取得某個特定值 x 的機率。

特定值的機率

p(x)=P(X=x)

所有可能值的機率總和

\sum_x p(x)=1

連續型隨機變數使用機率密度函數（probability density function, PDF）。曲線在某一點的高度表示機率密度，不等於該點本身的機率；區間內的機率才是密度曲線下的面積。

可以把機率密度看成一個函數，用來描述隨機變數的可能值在各個位置附近有多集中。函數在某個位置的高度是密度；把一段範圍內的密度累積起來，也就是計算曲線下的面積，得到的才是這個區間的機率。

機率一定介於 0 與 1 之間，但機率密度的高度可以大於 1。只要密度曲線下的總面積等於 1，它仍然是合法的機率密度函數。

例如 X 均勻分布在 0 到 0.5 之間。因為整段寬度只有 0.5，密度高度可以是 2；此時總面積仍然是 0.5×2=1。

密度函數

f(x)=2,\quad 0\le x\le 0.5

整段範圍的機率

P(0\le X\le 0.5)=\int_0^{0.5}2\,dx=1

其中一小段的機率

P(0\le X\le 0.1)=\int_0^{0.1}2\,dx=0.2

單一點的機率

P(X=x)=0

區間內的機率

P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx

整條密度曲線下的面積

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1

累積分布函數（cumulative distribution function, CDF）可以同時用於離散型與連續型隨機變數，表示機率累積到 x 為止共有多少。

共同定義

F(x)=P(X\le x)

連續型的表示方式

F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(u)\,du

隨機變數類型	常見分配
離散型	二項分配（binomial）、卜瓦松分配（Poisson）、超幾何分配（hypergeometric）
連續型	常態分配（normal）、均勻分配（uniform）、指數分配（exponential）