二因子 ANOVA 與 MANOVA | 變異數分析

二因子 ANOVA 與多變量變異數分析（multivariate analysis of variance, MANOVA）是兩種不同方向的擴充。二因子 ANOVA 在同一個定量依變數中同時研究兩個類別因子；MANOVA 則同時研究多個彼此相關的定量依變數。

二因子 ANOVA：同時研究兩個因子

假設研究者想比較不同治療方式與不同性別對血壓的影響。治療方式是因子 A，性別是因子 B，血壓則是一個定量依變數。二因子 ANOVA 可以在同一模型中檢定 A 的主效果、B 的主效果，以及 A 與 B 的交互作用。

若因子 A 有 a 個水準、因子 B 有 b 個水準，用 Yᵢⱼₖ 表示 A 的第 i 個水準、B 的第 j 個水準中第 k 個觀察值，模型可以寫成：

Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}

因子 A 主效果

H_{0,A}:\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_a=0

因子 B 主效果

H_{0,B}:\beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_b=0

交互作用

H_{0,AB}:(\alpha\beta)_{ij}=0\quad\text{for all }i,j

若交互作用顯著，代表一個因子的效果取決於另一個因子的水準。例如藥物只在某一性別有效，將性別平均後只報告藥物主效果，可能掩蓋真正的資料型態。因此通常先檢查交互作用，再決定主效果能否單獨解釋。

交互作用顯著後，常進一步分析簡單主效果，例如分別在男性與女性中比較治療方式，或在每種治療下比較性別。這些後續比較仍要處理多重比較問題。

若研究同一批受試者的收縮壓、舒張壓與心率，這三項都是定量依變數，而且彼此可能相關。MANOVA 檢定的不是單一平均數，而是各組的母體平均向量是否相同。

第 j 組平均向量

\boldsymbol{\mu}_j=(\mu_{j1},\mu_{j2},\ldots,\mu_{jp})^{\mathsf T}

MANOVA 虛無假設

H_0:\boldsymbol{\mu}_1=\boldsymbol{\mu}_2=\cdots=\boldsymbol{\mu}_k

MANOVA 同時考慮依變數之間的共變異，因此不同於對每個依變數各做一次 ANOVA。後者會增加多重檢定的第一類錯誤，也沒有直接檢定各結果組合形成的整體差異。

單變量 ANOVA 把變異分成組間與組內平方和；MANOVA 則把它們擴充為組間與組內的平方和及交叉乘積矩陣。常以 H 表示組間效果矩陣，以 E 表示組內誤差矩陣，再從兩者的特徵值形成整體檢定統計量。

統計量	判讀重點
Pillai's trace	通常被視為對假設違反較穩健，值越大代表組間差異相對較大
Wilks' lambda	值越小代表組間平均向量差異相對較大
Hotelling–Lawley trace	累積多個判別方向上的組間訊息
Roy's largest root	只著重差異最大的單一判別方向

若依變數幾乎無關，MANOVA 可能沒有整合它們的優勢；若相關性過高，則可能只是重複測量同一概念。依變數的選擇應由研究問題事先決定，而不是看到資料後不斷加入結果變數。