單因子變異數分析（One-way ANOVA） | 變異數分析

單因子獨立樣本變異數分析（one-way independent-samples analysis of variance, one-way ANOVA）用來比較三組或以上彼此獨立的樣本，判斷它們在某個定量變數上的母體平均數是否全都相同。兩組資料也能使用 ANOVA，但只有兩組且採用相同的等變異模型時，獨立樣本 t 檢定通常更直接。

ANOVA 的核心想法：分組是一個模型

把觀察值分成不同組別，就等於建立一個以組別解釋結果的模型。模型若有解釋力，各組平均數應有明顯差異，也就是組間變異較大；同一組內的觀察值則應相對集中，使未被分組解釋的誤差較小。這個「模型所解釋的變異與誤差變異相比」的想法，之後也會出現在迴歸分析。

F 統計量

F=\frac{MS_{\mathrm{between}}}{MS_{\mathrm{within}}}=\frac{MS_M}{MS_E}

在 H₀ 成立時

F\sim F_{k-1,\,n-k}

F 值越大，表示組間差異相對於組內誤差越大，資料與「所有母體平均數相同」的虛無假設越不相容，因此右尾 p 值通常越小。不過，F 值大並不等於模型一定「好」，仍要同時檢查研究設計、模型假設、效果大小與實際意義。

資料形式與研究問題

項目	單因子獨立樣本 ANOVA 的要求
自變數（因子）	一個類別變數，包含兩個以上彼此獨立的組別或水準
依變數	可合理計算平均數的定量變數
觀察單位	每個觀察單位只屬於一組，各觀察值彼此獨立
研究問題	各組的母體平均數是否全都相同？

「單因子」是指模型中只有一個自變數，不是指只有一組資料。例如，用治療方式將受試者分成安慰劑、低劑量與高劑量三組，再比較治療後血壓，因子是「治療方式」，三種治療方式則是這個因子的三個水準。

成立條件

獨立性：各觀察值彼此獨立，通常由抽樣或研究設計加以保證。
常態性：在每一組中，誤差項近似常態分布；實務上應查看各組分布或模型殘差。
等變異性：各組母體具有共同變異數 σ²，因此各組的組內平方和可以合併估計同一個誤差變異數。

為什麼各組的組內平方和可以合併？

計算組內均方 MSE 時，我們先把所有組別的組內離差平方和加在一起，再除以組內自由度 n−k。讀者很自然會問：每組平均數明明不同，為什麼這些離差可以直接合併？關鍵是離差都先以各組自己的平均數為中心，所以它們不再反映組與組之間的平均數差異，而是在描述各組內部的隨機變動。

第 j 組的組內平方和

SS_{E,j}=\sum_{i=1}^{n_j}(X_{ij}-\bar X_j)^2

合併所有組別

SS_E=\sum_{j=1}^{k}SS_{E,j}=\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{n_j}(X_{ij}-\bar X_j)^2

共同的組內變異數估計

MS_E=\frac{SS_E}{n-k}

傳統單因子 ANOVA 假設每組誤差的母體變異數都等於同一個 σ²。雖然各組平均數 μⱼ 可以不同，但各組的 SSE,j 都是在估計同一個誤差變異數，因此可以像等變異獨立樣本 t 檢定的 pooled variance 一樣，依各組自由度合併。每組估計自己的平均數會用掉 1 個自由度，所以合併後的自由度是 Σ(nⱼ−1)=n−k。

共同變異數假設

\operatorname{Var}(\varepsilon_{ij})=\sigma^2\quad\text{for every group }j

組內自由度合併

\sum_{j=1}^{k}(n_j-1)=\sum_{j=1}^{k}n_j-k=n-k

為什麼均方相除會形成 F 分配？

原文提到 F 分配由兩個卡方變數相除而來，這正是 ANOVA 公式成立的重要理由。更精確地說，在 H₀ 成立，且誤差彼此獨立、服從常態分布並具有共同變異數 σ² 時，組間平方和與組內平方和除以 σ² 後，會形成兩個彼此獨立的卡方變數。

組間標準化平方和

\frac{SS_M}{\sigma^2}\sim\chi^2_{k-1}

組內標準化平方和

\frac{SS_E}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-k}

F 分配不是直接把兩個卡方變數相除，而是把它們各自除以自己的自由度後再相除。代入 ANOVA 的兩個平方和，共同的 σ² 會在分子與分母中消去，最後正好得到組間均方除以組內均方。

\frac{(SS_M/\sigma^2)/(k-1)}{(SS_E/\sigma^2)/(n-k)}=\frac{SS_M/(k-1)}{SS_E/(n-k)}=\frac{MS_M}{MS_E}\sim F_{k-1,\,n-k}

符號	在這組公式中的意義
Xᵢⱼ	第 j 組中的第 i 個觀察值
X̄ⱼ、X̄··	第 j 組平均數與全部資料的總平均數
nⱼ、n、k	第 j 組樣本數、總樣本數與組別數
SSM、SSE、SST	組間、組內與全體平方和
MSM、MSE	組間均方與組內均方
F	組間均方除以組內均方所得的 ANOVA 檢定統計量
σ²、σ	母體變異數與母體標準差；下標用來指出是哪一個統計量的標準差
~	服從某個機率分配

組內雖然包含很多組，但在共同變異數假設下，各組的組內平方和都是同一種誤差資訊；相加後形成一個自由度為 n−k 的合併卡方變數。因此 ANOVA 的分母只有一個 MSE。若各組變異數不同，這個傳統的共同 MSE 與上述精確 F 分配關係便不再成立，應考慮 Welch ANOVA 等不要求等變異的方法。

建立假設

虛無假設

H_0:\mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_k

對立假設

H_1:\text{並非所有 }\mu_j\text{ 都相等}

等價敘述

H_1:\exists\,j\ne \ell\text{ 使得 }\mu_j\ne\mu_\ell

符號與資料結構

假設共有 k 組，第 j 組有 nⱼ 個觀察值，總樣本數為 n。用 Xᵢⱼ 表示第 j 組中的第 i 個觀察值。

符號	意義
Xᵢⱼ	第 j 組中的第 i 個觀察值
nⱼ	第 j 組的樣本數
n=Σnⱼ	所有組別合計的總樣本數
X̄ⱼ	第 j 組的樣本平均數
X̄··	全部 n 個觀察值的總平均數（grand mean）
k	組別數，也就是因子的水準數

第 j 組平均數

\bar X_j=\frac{1}{n_j}\sum_{i=1}^{n_j}X_{ij}

總平均數

\bar X_{\cdot\cdot}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{n_j}X_{ij}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{k}n_j\bar X_j

單因子 ANOVA 模型

每個觀察值可以寫成「總平均 + 該組效果 + 個人誤差」。組別效果描述第 j 組平均數相對於總平均的偏移；誤差則描述個別觀察值相對於自己組平均數的偏移。

母體模型

X_{ij}=\mu+\alpha_j+\varepsilon_{ij}

組別效果

\alpha_j=\mu_j-\mu

誤差假設

\varepsilon_{ij}\overset{\mathrm{iid}}{\sim}N(0,\sigma^2)

在樣本資料中，同一個總離差也能直接拆成組間部分與組內部分：

\underbrace{X_{ij}-\bar X_{\cdot\cdot}}_{\text{總離差}}=\underbrace{\bar X_j-\bar X_{\cdot\cdot}}_{\text{組間：模型}}+\underbrace{X_{ij}-\bar X_j}_{\text{組內：誤差}}

符號	在這組公式中的意義
Xᵢⱼ	第 j 組中的第 i 個觀察值
X̄ⱼ、X̄··	第 j 組平均數與全部資料的總平均數
nⱼ、n、k	第 j 組樣本數、總樣本數與組別數
SSM、SSE、SST	組間、組內與全體平方和
MSM、MSE	組間均方與組內均方
F	組間均方除以組內均方所得的 ANOVA 檢定統計量

第一步：分解平方和

離差有正有負，直接相加會互相抵銷，因此將離差平方後再加總。總平方和 SST 可以精確分解為組間平方和 SSM 與組內平方和 SSE。

組內平方和（error）

SS_E=\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{n_j}(X_{ij}-\bar X_j)^2

組間平方和（model）

SS_M=\sum_{j=1}^{k}n_j(\bar X_j-\bar X_{\cdot\cdot})^2

總平方和（total）

SS_T=\sum_{j=1}^{k}\sum_{i=1}^{n_j}(X_{ij}-\bar X_{\cdot\cdot})^2

平方和分解

SS_T=SS_M+SS_E

第二步：分配自由度並計算均方

平方和會隨樣本數與組數增加，不能直接拿來比較。將各平方和除以對應自由度，得到可比較的均方（mean square）。

變異來源	自由度	理由
組間（model）	k−1	k 個組平均數受到總平均數的一項限制
組內（error）	n−k	每一組估計一個平均數，共損失 k 個自由度
全體（total）	n−1	全部資料估計一個總平均數

組間均方

MS_M=\frac{SS_M}{k-1}

組內均方

MS_E=\frac{SS_E}{n-k}

自由度分解

n-1=(k-1)+(n-k)

第三步：計算 F 值與 p 值

在 H₀ 成立時，組間均方與組內均方都在估計共同誤差變異數 σ²，因此 F 通常接近 1。若組別平均數確實不同，組間均方還會包含組別效果，使 F 傾向變大。

檢定統計量

F_{\mathrm{obs}}=\frac{MS_M}{MS_E}

右尾 p 值

p=P\!\left(F_{k-1,\,n-k}\ge F_{\mathrm{obs}}\mid H_0\right)

由 F 分配表或統計軟體求得 p 值後，將它與事先設定的顯著水準 α 比較。若 p≤α，拒絕 H₀，結論是至少一組母體平均數不同；若 p>α，則沒有足夠證據拒絕 H₀，但不能因此證明所有平均數完全相同。

ANOVA 摘要表

變異來源	平方和 SS	自由度 df	均方 MS	F 值	p 值
組間（model）	SSM	k−1	MSM=SSM/(k−1)	MSM/MSE	右尾機率
組內（error）	SSE	n−k	MSE=SSE/(n−k)
全體（total）	SST	n−1

完整分析流程

確認研究問題是一個類別因子對定量結果的平均數比較，且各組觀察值彼此獨立。
先看各組樣本數、平均數、標準差、分布圖與可能的異常值。
設定 H₀、H₁ 與顯著水準 α，並檢查常態性與等變異性是否合理。
計算 SSM、SSE 與 SST，確認 SST=SSM+SSE。
依自由度計算 MSM 與 MSE，再求 F 值及其右尾 p 值。
報告各組描述統計、F 值、兩個自由度、p 值與效果大小；若整體檢定顯著，再依研究問題進行適當的對比或事後比較。

補充：為什麼兩組資料會得到 F=t²？

當單因子獨立樣本 ANOVA 只有兩組時，若它與獨立樣本 t 檢定採用相同的等變異模型，兩者其實是在檢定同一個虛無假設。下面從兩種方法使用的變異數估計開始，逐步說明兩個統計量為什麼會滿足 F=t²。

第一步：寫出等變異獨立樣本 t 統計量

Pooled t 統計量

t=\frac{\bar X_1-\bar X_2}{\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}

合併變異數

s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}

第二步：證明 ANOVA 的 MSE 就是 sₚ²

兩組各自的樣本變異數乘以自己的自由度，就是該組的組內離差平方和。把兩組相加，便得到 ANOVA 的組內平方和 SSE。

兩組的組內平方和

SS_E=(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2

只有兩組時的組內自由度

df_E=(n_1+n_2)-2

組內均方

MS_E=\frac{SS_E}{n_1+n_2-2}=s_p^2

因此，等變異 t 檢定使用的合併變異數 sₚ²，與兩組 ANOVA 分母中的 MSE 是同一個共同組內變異數估計值。

第三步：求兩組 ANOVA 的組間均方

先以兩組樣本數加權，求全部資料的總平均數：

\bar X_{\cdot\cdot}=\frac{n_1\bar X_1+n_2\bar X_2}{n_1+n_2}

將各組平均數減去總平均數，可以把兩個組間離差都改寫成兩組平均數差的倍數：

第 1 組的組間離差

\bar X_1-\bar X_{\cdot\cdot}=\frac{n_2}{n_1+n_2}(\bar X_1-\bar X_2)

第 2 組的組間離差

\bar X_2-\bar X_{\cdot\cdot}=\frac{n_1}{n_1+n_2}(\bar X_2-\bar X_1)

兩組 ANOVA 的組間自由度是 2−1=1，所以組間均方 MSM 等於組間平方和 SSM。將上面的兩個離差代入：

代入組間平方和

MS_M=SS_M=n_1\left(\frac{n_2}{n_1+n_2}(\bar X_1-\bar X_2)\right)^2+n_2\left(\frac{n_1}{n_1+n_2}(\bar X_2-\bar X_1)\right)^2

提出共同的平均數差平方

MS_M=\frac{n_1n_2^2+n_2n_1^2}{(n_1+n_2)^2}(\bar X_1-\bar X_2)^2

化簡

MS_M=\frac{n_1n_2}{n_1+n_2}(\bar X_1-\bar X_2)^2

改寫成 t 分母的形式

MS_M=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)^2}{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}

第四步：將 MSM 與 MSE 相除

把剛才得到的 MSM 放入 F 的分子，再以 MSE=sₚ² 作為分母：

兩組 ANOVA 的 F 統計量

F=\frac{MS_M}{MS_E}=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)^2}{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}

將 pooled t 平方

t^2=\left[\frac{\bar X_1-\bar X_2}{\sqrt{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\right]^2=\frac{(\bar X_1-\bar X_2)^2}{s_p^2\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}

結論

\boxed{F=t^2}

ANOVA 不只一種

本單元介紹的是單因子獨立樣本 ANOVA。若同一批受試者在多個時間點或條件下重複測量，應使用相依樣本或重複量數 ANOVA；若模型同時包含兩個因子，可使用二因子 ANOVA 並研究主效果與交互作用；若同時分析多個依變數，則可能使用多變量變異數分析（MANOVA）。這些方法都延伸自變異分解與模型比較的核心想法，但成立條件、平方和與解釋方式並不完全相同。