Spearman 等級相關 | 迴歸分析 | 生物統計學習筆記

Spearman 等級相關係數（Spearman's rank correlation coefficient），通常記為 rₛ；母體參數記為 ρₛ。它先把 X、Y 的觀察值各自轉成等級，再衡量兩組等級之間的相關。因此，它關心的是：X 增加時，Y 是否大致持續增加或持續減少。

什麼時候考慮 Spearman 相關？

分別對 X 與 Y 由小到大排序，把最小值記為第 1 名、次小值記為第 2 名，依序得到 R(Xᵢ) 與 R(Yᵢ)。Spearman 只使用這些等級計算，所以原始數值相差多少不再直接進入公式。

若數值相同，就把原本應占名次的平均值分給它們。例子中的兩個 X=15 原本占第 2、3 名，所以兩者都使用平均等級 (2+3)/2=2.5。這稱為同分名次（ties）的平均等級處理。

完成 rank 轉換後，把 X 的等級與 Y 的等級代入 Pearson 相關係數的形式。這就是 Spearman 等級相關最一般、也能正確處理同分名次的定義。

r_s=\frac{\sum_{i=1}^{n}[R(X_i)-\overline{R_X}][R(Y_i)-\overline{R_Y}]}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}[R(X_i)-\overline{R_X}]^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}[R(Y_i)-\overline{R_Y}]^2}}

若 X、Y 都沒有同分名次，可先求每一對名次差 dᵢ=R(Xᵢ)−R(Yᵢ)，再使用下式。它是一般 rank-correlation 公式在沒有 ties 時化簡得到的捷徑，不是另一種相關係數。

每一對的名次差

d_i=R(X_i)-R(Y_i)

Spearman 捷徑公式

r_s=1-\frac{6\sum_{i=1}^{n}d_i^2}{n(n^2-1)}

係數的正負表示方向，絕對值表示單調關係的強弱。rₛ 接近 0 不代表完全沒有任何關係；資料仍可能存在 U 形等非單調關係。因此，即使使用 Spearman，也應先查看原始資料的散布圖。

若研究問題是母體中是否存在單調關聯，先提出 H₀:ρₛ=0；雙尾對立假設為 H₁:ρₛ≠0。樣本 rₛ 是效果方向與大小的估計，p 值則評估在 H₀ 成立時，目前或更極端的等級排列有多不尋常。

H_0:\rho_s=0\qquad H_1:\rho_s\ne0

符號	在這組公式中的意義
n	本段使用的觀察數、樣本數或試驗次數；以公式前的研究設定為準

Fisher Z 的 z=atanh(r) 與標準誤 1/√(n−3)，是針對 Pearson 相關在特定條件下建立的結果。不能只把公式中的 r 換成 rₛ，就將它當成一般的 Spearman 推論公式。

Spearman 相關的 p 值與信賴區間應使用統計軟體中明確針對 Spearman 設計的方法，例如精確或排列檢定，以及適當的 bootstrap 信賴區間。部分大型樣本方法可能在額外假設下使用轉換近似，但必須說明所採方法，不能只寫「進入 Fisher Z 後查 Z 表」。