Fisher Z 轉換與相關係數比較 | 迴歸分析

Fisher Z 轉換（Fisher's Z transformation）把介於 −1 與 1 之間的樣本相關係數 r，轉換到沒有上下界的 z 尺度。轉換後的抽樣分布較接近常態，因此可用來檢定母體相關係數 ρ、建立信賴區間，以及比較兩個獨立群體的相關係數。

Fisher Z 轉換公式

樣本相關係數的轉換

z_r=z(r)=\frac12\ln\left(\frac{1+r}{1-r}\right)=\operatorname{arctanh}(r)

母體相關係數的轉換

z_\rho=z(\rho)=\frac12\ln\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)

反轉換

r=\tanh(z_r)=\frac{e^{2z_r}-1}{e^{2z_r}+1}

當資料可合理視為來自二變量常態母體，且樣本數足夠時，Fisher 轉換後的統計量近似服從常態分布：

z(r)\approx N\left(z(\rho),\frac{1}{n-3}\right),\qquad SE[z(r)]\approx\frac{1}{\sqrt{n-3}}

符號	在這組公式中的意義
√	平方根；常用來把變異數轉成標準差
n	本段使用的觀察數、樣本數或試驗次數；以公式前的研究設定為準

若研究問題不是只檢定 ρ=0，而是要檢定母體相關是否等於某個指定值 ρ₀，可以先把樣本 r 與假設值 ρ₀ 都轉到 Fisher z 尺度。

雙尾假設

H_0:\rho=\rho_0,\qquad H_1:\rho\ne\rho_0

Z 統計量

Z=\frac{z(r)-z(\rho_0)}{1/\sqrt{n-3}}

由標準常態分布計算單尾或雙尾 p 值。若 ρ₀=0，則 z(ρ₀)=0；在二變量常態假設下，前一頁的 t 檢定是檢定零相關的傳統精確方法，Fisher Z 則是常態近似，兩者在大樣本時通常非常接近。

原文先在 Fisher z 尺度建立 95% 信賴區間。一般的 100(1−α)% 區間為：

z 尺度下限

L_z=z(r)-z_{1-\alpha/2}\frac{1}{\sqrt{n-3}}

z 尺度上限

U_z=z(r)+z_{1-\alpha/2}\frac{1}{\sqrt{n-3}}

95% 信賴區間

z(r)\pm1.96\frac{1}{\sqrt{n-3}}

z 尺度的上下限不能直接當作相關係數報告，還要分別反轉換回 ρ 尺度：

CI_\rho=\left[\tanh(L_z),\tanh(U_z)\right]

符號	在這組公式中的意義
n	本段使用的觀察數、樣本數或試驗次數；以公式前的研究設定為準

假設想比較男性與女性的身高、體重相關是否相同。性別把樣本分成兩個互不重疊的群體；問題不是各組內相關是否分別顯著，而是兩個母體相關係數本身是否不同。這可視為性別是否改變身高與體重關係的 effect modification 或 moderation 問題。

虛無與對立假設

H_0:\rho_1=\rho_2,\qquad H_1:\rho_1\ne\rho_2

分別轉換兩組樣本相關

z_1=z(r_1),\qquad z_2=z(r_2)

兩組彼此獨立時，z₁−z₂ 的變異數等於兩組變異數相加，和兩獨立樣本平均數差的概念相同：

差值的標準誤

SE(z_1-z_2)=\sqrt{\frac{1}{n_1-3}+\frac{1}{n_2-3}}

比較兩個獨立相關的 Z 統計量

Z=\frac{z(r_1)-z(r_2)}{\sqrt{\frac{1}{n_1-3}+\frac{1}{n_2-3}}}

原文分母中的 n₁−3 與 n₂−3 因轉檔而出現下標括號錯置；正確形式是分別以每組樣本數減 3。由標準常態分布取得 p 值後，即可判斷兩個母體相關是否有證據不同。

在 Fisher z 尺度上，兩組轉換後相關之差的信賴區間可以直接寫成：

(z_1-z_2)\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{1}{n_1-3}+\frac{1}{n_2-3}}

符號	在這組公式中的意義
√	平方根；常用來把變異數轉成標準差
z	標準化後的 z 統計量；下標通常表示指定尾端機率的臨界值
α	顯著水準或信賴區間兩端所使用的尾端機率
n	本段使用的觀察數、樣本數或試驗次數；以公式前的研究設定為準

這是 z(ρ₁)−z(ρ₂) 的區間，不是原始相關差 ρ₁−ρ₂ 的區間。因 tanh 是非線性函數，不能把差值區間的兩端直接各自做一次 tanh 就當成 ρ₁−ρ₂。若研究重點是原始相關差，可使用適當的大樣本方法或 bootstrap 建立區間。

上述情況中兩個相關估計值具有共變異數，不能只把 1/(n₁−3) 與 1/(n₂−3) 相加。應使用能處理相依相關係數的方法、迴歸交互作用模型、重抽樣方法或符合資料結構的模型。